Материалы
§3. Расчет стоимости опционов Европейского типа
1. Если 
–
самофинансируемая стратегия класса SF
, то [см. 2, с.88]
(3.1)
Поэтому, если является к тому же (
)-хеджем,
то начальный капитал 
и функция выплаты 
оказываются такими, что имеет место неравенство
(3.2)
Отсюда сразу получаем,
что справедливая стоимость (цена) 
, определенная в (2.7) , удовлетворяет
неравенству
(3.3)
До сих пор
предполагалось, что является 
–измеримой
функцией, иначе функционалом от винеровского процесса, 
. Если параметр 
известен a priori, то в силу
того, что 
, функционал 
может быть представлен в виде 
, где зависит, вообще говоря, и от
значения параметра .
В реальных ситуациях,
однако, параметр является неизвестным и функционал 
зависит 
от лишь через значения S(
).
С формальной точки зрения
это означает следующее. Пусть 
– пространство непрерывных неотрицательных
функций на [0,T] с 
–алгеброй цилиндрических множеств 
. Будем предполагать, что (
), 
является –
измеримой функцией, определяющей сумму, которую продавец опциона выплачивает
покупателю, когда s–
траектория цен акций на [0,T]
– есть 
. Тогда, если на (B,S)-рынке динамика цены акции определяется уравнением (1.4)
с некоторым параметром , а «случайность» -
элементарным исходом , то отвечающая им функция выплаты 
.
Сразу можно заметить, что для таких функций выплаты, которые будем называть естественными, из (1.9) следует, что
Law 
= Law
(3.4)
Таким образом, для
естественных функций выплаты из (3.3) находим, что для всякого 
(3.5)
Это неравенство обладает
весьма важным и несколько неожиданным свойством – правая часть не зависит
от . Более того, ниже будет
установлено, что (при некоторых условиях) в (3.5) на самом деле имеет место
знак равенства, т.е. при всех 
.
где
2. С целью доказательства этих свойств
зафиксируем и рассмотрим –измеримую неотрицательную функцию такую, что
E
. (3.6)
Замечание. Поскольку E
, то в силу неравенства Гёльдера
достаточным условием выполнения (8.6) может служить, например, условие
E
с некоторым 
.
Образуем величины
По мере P
и относительно потока (
) процесс 
является неотрицательным мартингалом
и по известной теореме Ито-Кларка о представлении мартингалов ([7, гл.5]).
(3.7)
где величины 
, являются 
–измеримыми при каждом u и такими, что
(Р-п.н.). (3.8)
Заметим, что в силу (1.9)
и, следовательно, величины , являются функционалами от 
, т.е. существуют такие неупреждающие
функционалы 
, что 
.
Положим
(3.9)
и, учитывая, что 
является 
–измеримой
функцией от , определим также
(3.10)
Образуем стратегию 
c 
где 
и 
определены в (3.9) и (3.10).
Мы утверждаем, что:
а) стратегия является самофинансируемой;
б) имеет место равенство
где 
Для доказательства а) заметим, что
и, значит, в силу определения 
и 
(3.11)
Поэтому из (3.7) и (1.9)
Тем самым, стратегия является самофинансируемой, 
(Заметим; что «технические» условия
(2.4) выполнены в силу (3.8) и непрерывности траекторий процесса 
.)
Свойство (3.11) означает,
что P–мартингал 
является дисконтируемым капиталом
построенной выше стратегии 
. При этом (P-п.н.)
и, очевидно,
(Р-п.н.).
Эти равенства в точности
означают, что стратегия 
является ()-хеджем с начальным капиталом
. Более того, хедж является минимальным в смысле
определения в п.4 §8.
Итак, хедж 
с 
. Вместе с (3.3) это показывает, что
на самом деле справедливая (рациональная) стоимость
. (3.12)
Если к тому же 
то в силу (3.4) приходим к несколько неожиданному
факту, состоящему в том, что C
не зависит от .
Резюмируя, получаем
следующий ключевой результат теории расчетов опционов Европейского типа,
заключаемых на (B,S)-рынке, с моментом исполнения Т
и неотрицательной функцией выплаты .
Теорема 1. [2, с. 96] а) Пусть – -измерима,
R , и выполнено условие (3.6).
Тогда рациональная стоимость C определяется формулой (3.12).
Существует минимальный хедж 
, где 
, c 
,
причем 
определяется из представления (3.7),
и 
с 
..
б) Если к
тому же функция выплаты является естественной, т.е. , то рациональная стоимость C не зависит от 
и 
(3.13)
