Материалы
§3. Расчет стоимости опционов Европейского типа и формирования портфеля для функций выплат с последействием
1. Будем рассматривать 
– рынок, определяемый соотношениями (1) и (2), начальными
данными 
и параметрами a, b и r такими, что 
. Предполагается также, что на исходном дискретном
пространстве 
с 
задана мера 
, относительно которой
последовательность 
есть последовательность независимых
одинаково распределенных случайных величин с 
, 
и 
, т.е. 
.
Пусть последовательность функций 
такая, что 
зависит от всех 
,
т.е. 
. И пусть 
– момент времени предъявления
опциона к исполнению.
Введем некоторые
обозначения. Обозначим через 
– множество всевозможных последовательностей
из нулей и единиц длины 
. Если 
, то 
обозначим как сумму первых i
элементов последовательности t, т.е. 
, где 
и 
принимает значения 0 или 1, (
).
Рассчитаем рациональную стоимость.
Согласно теоремы 1 из §2 справедливая стоимость вычисляется по формуле (2,3),
т.е. 
где последнее равенство следует из определения математического ожидания.
Определим последовательность 
, где 
алгебра 
По определению условного
математического ожидания 
– измеримы относительно 
, значит существует функция 
такая, что 
. Возьмем функцию 
такую, что
(3.1)
Выберем произвольное , тогда 
, т.к. 
независимые случайные величины и 
–алгебра 
. Значит 
.
По теореме 1 из §2 получаем, что
рациональная стоимость 
.
По этой же теореме и (3.1) капитал в момент времени вычисляется по формуле
, а портфель 
вычисляется по формулам: 
, где 
из разложения (2.2) мартингала 
, то есть
(3.2)
и
(3.3)
2. Выведем также формулы для цены,
капитала и портфеля когда есть отток или приток капитала со «стороны». Пусть 
последовательность функций измеримых
относительно 
. Функция 
это отток или приток капитала в
момент времени .
Построим последовательность 
, где 
из (3.1) и
.последовательность 
рассчитывается
аналогично 
. Тогда по теореме 2 из §2
рациональная стоимость опциона
, а капитал в момент времени вычисляется по формуле
Портфель 
позволяющий выполнить обязательства по контракту определяется
по той же теореме формулами:
количество акций в момент времени
так как из (2.2) 
, и количество облигаций в момент
времени
