Материалы
Доклад
Стоимость опционов Европейского и Американского типов и формирование портфеля для функций выплат с последействием (дискретное и непрерывное время)
Рассмотрим модель 
– рынка, состоящего из двух активов — облигации
(банковского счета) 
и акции 
. В этой модели будем предполагать
что, динамика изменения банковского счета подчиняется рекуррентным соотношениям
,
, (1)
где процентная ставка 
(фиксированная).
Стоимость акции 
предполагается эволюционирующей по
закону
, 
, (2)
где 
–– последовательность независимых
случайных величин, причем 
принимают всего лишь
два значения a и b с положительными вероятностями
, 
, и
такие, что
(3)
(это условие обеспечивает
положительность величин 
). При сделанных
предположениях банковский счет является «безрисковым» активом, а акции
«рисковым» активом, что выглядит довольно естественно. Модель – рынка впервые была предложена Коксом,
Россом и Рубинштейном.
В развитие дискретной модели, рассмотрим (B,S)-рынок,
функционирующий непрерывно во времени, где относительно банковского
счета В предполагается, что 
– детерминированная
функция с
, , , (4)
Цена акции 
пусть является
моделью «геометрического» (или «экономического») броуновского движения, т.е.
{
}, (5)
где
– винеровский процесс («обычное» броуновское
движение), 
.
Эта модель была предложена П. Самуэльсоном.
Дифференциал этого процесса
, (1.4)
из этих построений видно, что эта модель является предельной для дискретной модели рынка.
Рассмотрим инвестора,
располагающего возможностями 
– рынка, который
имеет начальный капитал 
и интересуется
увеличением его в будущем. У инвестора, оперирующего на –рынке,
есть возможность: поместить часть капитала на банковский счет, а часть–– в
акции.
Имея в виду эту
возможность, будем считать, что 
– цена одной
облигации и 
– цена одной акции (в момент времени 
). Пусть инвестор в момент времени располагает 
облигациями
и 
акциями (допускаются отрицательные значения,
что соответствует взятию в долг). Следовательно, начальный капитал инвестора
есть
а 
образует,
как принято говорить, портфель (portfolio) инвестора в момент времени .
Так обобщая на
произвольные моменты времени 
, находим, что
, (
)
где,
естественно, подразумевается, что портфель 
составляет
лишь на основе предшествующей информации о ценах. Будем рассматривать
самофинансируемые стратегии (портфели), т.е. удовлетворяющие равенству
(
)
означающего, что 
таковы,
что изменение капитала на банковском счете (т.е. 
)
может происходить только в результате соответствующего изменения
капитала в акциях (т.е. 
) и наоборот.
Представим, что участник
(эмитент) рынка может выпустить ценную бумагу, предоставляющую возможность её
покупателю в некоторый фиксированный момент времени 
потребовать
выплатить продавцу некоторую сумму, определяемую заранее оговоренной функцией
выплат 
(функционал от цены акции). Такие ценные
бумаги называются опционами Европейского типа. Если предположить, что
функция выплат в момент времени предъявления зависит от всех предыдущих значений
цены акции, то она называется функцией выплат с последействием.
Покупатель опциона естественно должен заплатить некоторую премию (цена опциона) за контракт, а продавец, в свою очередь, должен так распорядится, полученной премией, чтобы в момент предъявления мог выполнить свои обязательства.
Перед продавцом теперь
стоит задача, какова должна быть стоимость продаваемой им ценной бумаги и как
довести в момент времени свой капитал до
величины, не меньшей, чем 
.
Определение 1. Говорят, что для данного 
и неотрицательной функции 
самофинансируемая стратегия 
является 
–хеджем
(hedje–забор), если для любого 
(
)
где 
подчиняются
соотношениям (1.2):
В том случае, когда в
(1.13) для всех выполнено равенство
говорят, что 
является минимальным –хеджем.
Определение 2. Величина
(П–
множество хеджей)
называется инвестиционной
стоимостью (ценой), гарантирующей в момент получение
капитала не меньшего 
для любого .
Большее распространение в
финансовой практике получили так называемые опционы Американского типа,
отличительной особенностью которых является то, что момент предъявления опциона
к исполнению может быть произвольным моментом из оговариевомого
контрактом множества моментов 
.
Предположим также, что
задана (оговариваемая условиями контракта) последовательность функций 
где 
интерпретируется
как выплата покупателю опциона, если он предъявляет опцион к исполнению в
момент времени и соответствующая реализация
цен акции есть 
Определение 3. Говорят, что для данного и заданного набора неотрицательных
функций платежа 
с 
стратегия
является 
–хеджем
Американского типа, если для любых 
и всех 
(
и 
(Р-п.н.)
для всех 
.
н.в.)
Если к тому же при
некотором марковском моменте 
выполнено равенство
то –хедж
называют минимальным.
Определение 4. Величина 
определяемая
как
называется справедливой, или
рациональной стоимостью опционов Американского типа с крайней датой
исполнения и системой функций выплат .
Определение 5. Марковский момент 
будем называть рациональным, или
разумным, моментом исполнения (погашения) Американского опциона, если
при начальном капитале 
для любой стратегии 
со свойством
на самом деле имеет место равенство
Данная работа посвящена расчетам связанными с опционами Европейского и Американского типов. Выполнены расчет стоимости удовлетворяющей и покупателя и продавца (рациональная стоимость), отыскание оптимальных стратегий (хеджирующих стратегий), позволяющих выполнить обязательства, и моментов (рациональных моментов остановки), в которые необходимо предъявлять опцион Американского типа к исполнению. Были получены результаты для опционов с функцией выплат с последействием:
— вывод формул для получения
справедливой стоимости опциона и хеджирующих стратегий для опционов
Европейского и Американского типов на -
рынке без оттока (или притока) и с оттоком (или притоком) капитала для дискретного
времени;
— приведены примеры использования
полученных формул для определения справедливой стоимости опциона и хеджирующих
стратегий для опционов Европейского и Американского типов на - рынке, функционирующем до момента
времени 
без оттока (или притока) и с оттоком
(или притоком) капитала для дискретного времени;
— приводятся некоторые теоретические результаты о распределении интеграла от процесса геометрического броуновского движения (вычисляются первый и второй моменты);
— описан метод, позволяющий рассчитать стоимость опциона Европейского типа в случае непрерывного времени и приведена программа расчета стоимости, основанная на этом методе, с примером ее применения.
